DIVIDERE O MOLTIPLICARE?

 

Alfredo Tifi

ITI "V. Volterra", Ancona

tifialf@tin.it

 

«Di quanto denaro debbo disporre per distribuire 1000 lire a ciascuno di voi?»... «Facile rispondere...» dicono prontamente i miei allievi.  Agli stessi allievi, ed in diverse classi, ho posto problemi di questo tipo: quanti grammi di sostanza "x" si devono pesare per ottenere "y" cm3 di soluzione a concentrazione "z" molare?  I due problemi risultavano essere tutt'altro che analoghi per i miei allievi.  L'indagine non costituiva una ricerca educativa completa, ma solo un primo stadio "conoscitivo" del problema.  Alla base di questi test vi sono delle convinzioni o "sensazioni" che, a mio avviso, meritano di acquistare una veste scientifica:

 

1) con i metodi "algoritmici" per la soluzione dei problemi come: formule, proporzioni, metodo del "factor-label" (vedi oltre), non sempre si raggiunge l'obiettivo della comprensione dei concetti che sono alla base dei problemi.  In altre parole, risolvendo numerosi esercizi con meccanismi codificati, si ottengono risultati corretti e l'apprendimento del meccanismo, ma non accade che, quasi per "osmosi", gli allievi raggiungano un'effettiva comprensione dei comportamenti della materia che i problemi sottendono.

 

Diversi studi sono già stati fatti su questa non equivalenza fra il saper risolvere esercizi e comprensione dei concetti molecolari (si veda ad esempio il riferimento 1 ed il divertente riferimento 4).

 

2) In questi casi la situazione non migliora, o addirittura peggiora quando si insiste nel delucidare come il meccanismo solutore si origina dai primi principi.  Un analogo peggioramento nella performance si ottiene quando uno stesso problema, invece di essere posto in forma "asettica", fa chiaro riferimento a situazioni sperimentali concrete (come manipolazioni di laboratorio): in questi casi l'allievo sembra intuire che il problema può essere risolto in modo semplice ragionando in termini concreti, ma il più delle volte questo va solo a sovraccaricare la sua memoria di lavoro, già impegnata nel procedimento algoritmico, confondendolo ulteriormente.

 

3) Proprio a queste "operazioni concrete" fa riferimento il metodo del "logical thinking" (che non consiste in un processo algoritmico) per la soluzione dei problemi.  L'idea alla base di questa nota è che l'impostazione dei problemi in classe secondo il metodo del "logical thinking" consente di raggiungere più proficuamente la comprensione di molti concetti chimici formativi.

 

Il metodo, che F. Cardulla [1] contrappone ai metodi algoritmici, parte dalla constatazione che la maggior parte dei problemi di chimica generale coinvolgono un ristretto numero di concetti base, come volume, massa, moli, peso atomico, atomo, molecola, energia e pochi altri, e quasi sempre le corrispondenti quantità vengono manipolate algebricamente facendo uso delle comuni 4 operazioni.  Da questo ridotto insieme di elementi "irriducibili", d'altra parte, può essere generato un popolatissimo insieme di esercizi e problemi molto differenti, che richiederebbero altrettanti algoritmi solutori.  Appare quindi molto più logico acquisire una padronanza di questi elementi base, tale da poter scegliere di volta in volta quali operazioni conducono necessariamente al risultato, nel senso che tutte le combinazioni errate fra tali elementi devono apparire come cose senza senso, esattamente come dividere 1000 lire per il numero di studenti della classe, nell'esempio in apertura.

 

Il metodo del logical thinking persegue quindi l'obiettivo primario di tradurre i termini, concetti ed operazioni elementari, da definizioni o meccanismi che gli allievi sanno "recitare" o "riprodurre", ad elementi appartenenti alla sfera del concreto, del familiare.  Allora il modo per combinare tali elementi si manifesta spontaneamente all'atto di risolvere un problema.  Per raggiungere questo obiettivo occorre che gli allievi abbiano dei modelli ben delineati del mondo molecolare, e non basta spiegare tali modelli, o convincere gli allievi della loro efficacia, perché questi li usino realmente nella soluzione dei problemi.  Esistono due strumenti per raggiungere l'obiettivo.  Il primo consiste in esercitazioni non tradizionali, in cui si utilizzano direttamente i modelli molecolari [2], piuttosto che esercizi puramente numerici, in cui l'uso del modello può essere rimpiazzato dalla riproduzione di un meccanismo.  Ora, questo genere di esercitazioni è ancora tutto da scrivere.  Il secondo strumento è ovviamente l'esercitazione di laboratorio; quale migliore opportunità per acquisire una familiarità ed un rapporto affettivo con i concetti molecolari?  A patto però che il tempo lezione preveda anche discussioni relative alle attività sperimentali.  Troppo spesso, invece, il laboratorio consiste in un "intervallo" alle lezioni "teoriche", e non ha una ricaduta diretta su tali lezioni né, particolarmente, sulle verifiche.

 

Ma ritorniamo al problema della preparazione, della soluzione posto in apertura.  Pur consistendo in un procedimento tipico del "logical thinking", veniva attuato con allievi non avvezzi all'uso di formule o algoritmi codificati, e con una scarsa familiarità a livello concreto con le quantità usate.  In tutti i casi suggerivo subito all'allievo di calcolare prima i grammi necessari per preparare un litro di soluzione, che avrebbe poi rapportato al volume richiesto.  Poi gli fornivo il peso molecolare.  Le operazioni logiche necessarie erano quindi:

a) moltiplicare il peso molecolare (peso di una mole) per la molarità (numero di moli da mettere in un litro);

b) moltiplicare i grammi ottenuti in a) per il volume (in litri) di soluzione richiesto, ottenendo così il risultato finale.

Solo i migliori fra gli allievi risolvevano il problema in maniera autonoma e rapida indipendentemente dai parametri scelti.  Tutti gli altri mostravano più o meno difficoltà dello stesso tipo: nella fase a), se la molarità fosse stata, ad esempio, 2 M, non avevano difficoltà a riconoscere la necessità di moltiplicare p.m. x M.  Ma con molarità minore di 1 (ad esempio 0,2 M), nella maggior parte dei casi, gli allievi dividevano p.m./M e, informati dell'errore, dividevano M/p.m.  Dovendo affrontare la parte b) del problema, subentrava sempre la difficoltà a percepire il volume (di soluzione richiesta) come una "estensione concreta" di spazio, o di liquido in un recipiente, rapportata al volume di un litro.  Ad esempio, se il volume richiesto fosse stato di 100 cm3 gli allievi non sapevano rispondere rapidamente alla domanda: «100 cm3 sono un litro, un decimo di litro o un centesimo di litro?».  Per riuscirvi dovevano ricorrere ad altre conoscenze teoriche acquisite dalla geometria o dalla fisica.  Sorprendentemente, una volta stabilito che il volume era appunto un decimo di litro, molti allievi effettuavano la divisione grammi/0,1, nonostante avessero compiuto e riconosciuto poco prima lo stesso errore.  Il fenomeno si è ripetuto per quasi tutti gli allievi intervistati, non sotto la "pressione del voto", ma in condizioni psicologiche del tutto normali.

 

Tale comportamento sembra confermare quanto descritto e già studiato da Frank Cardulla [1, 3], a proposito delle difficoltà nel padroneggiare con quantità fisiche apparentemente semplici in situazioni concrete apparentemente banali, ed a gestire rapporti fra queste quantità.  Secondo Cardulla il fatto è una conseguenza di due fattori principali: primo, anche come importanza, è il mancato possesso dei concetti di massa e di volume al livello dell'esperienza concreta; secondo, numeri troppo grandi o troppo piccoli agiscono da distrattori durante lo svolgimento dei calcoli.  Per quanto riguarda il primo punto, un corretto uso del laboratorio dovrebbe portare rimedi efficaci al problema; riguardo al secondo punto, se mi è consentito invadere il.campo, direi che nell'insegnamento delle basi della matematica si eccede con il carico di espressioni letterali, e si trascura l'abilità di calcolo con i "numeri veri".  È culturalmente riduttivo pensare che solo la matematica abitui il cervello a fare astrazione e per il resto, ci sono le formule fornite dagli insegnanti di scienze "applicate", i numeri da sostituire e le calcolatrici per fare il conto.  È un luogo comune molto diffuso che, implicitamente o esplicitamente, regola i rapporti fra l'insegnamento della matematica e le altre materie scientifiche soprattutto nelle scuole secondarie "di serie B" (i non licei), e che non ci fa certo onore come insegnanti.

 

L'uso ripetuto fino alla nausea delle espressioni letterali nell'insegnamento della matematica dovrebbe, se non altro, favorire la comprensione dell'invarianza dell'espressione di una legge di proporzionalità col variare delle unità di misura o dei valori numerici da sostituire.  In realtà accade invece che gli allievi, nell'uso del prodotto, si lascino influenzare da conoscenze istintive del tipo: "il prodotto di due numeri è sempre più grande dei fattori"; tale modulo istintivo, a mio avviso, ha un ruolo decisivo in ragionamenti errati del tipo: "se moltiplico un numero per una frazione propria, o per un numero minore di 1, mi attendo un risultato minore del primo fattore, e poiché la moltiplicazione conduce, al contrario, a un risultato maggiore, cambio l'operazione e faccio la divisione".  Non appena l'allievo si ravvede, o è influenzato dal fatto che il risultato è maggiore, e non minore, del primo fattore, senza pensarci due volte inverte numeratore e denominatore e consegna soddisfatto il risultato!  Infatti nessuna combinazione fra quantità che non si conoscono realmente appare più intuitiva o più assurda delle altre.  L'insegnante che non analizza in dettaglio siffatti comportamenti, e non perde tempo a correggerli, ha di fronte tre possibilità:

a) abituare gli allievi ad impostare ogni volta una proporzione;

b) costringere gli allievi a memorizzare ed utilizzare equazioni;

c) insegnare il metodo del Factor-Label (FL), che consiste nell'esprimere tutte le quantità nelle corrette unità di misura, e nel disporre tutti i rapporti o i prodotti (in pratica a tentativi) per ogni stadio del problema, in modo che dopo semplificazione restino le unità di misura attese per il risultato.

 

Dei tre estremi rimedi il terzo è forse il migliore se l'insegnante è particolarmente interessato ai risultati.  Si corre il rischio, però, di ottenere un aumento di risultati esatti senza che gli allievi comprendano veramente il significato delle quantità che usano, o dei concetti che esse esprimono.  L'espressione corretta delle unità di misura potrebbe essere solo una copertura che nasconde delle profonde lacune al livello dell'operatività concreta.  Lacune trasformabili in un forte svantaggio, per chi le possiede, nella soluzione di problemi più involuti, come quelli sugli equilibri in soluzione, in cui è richiesta una notevole familiarità nell'uso delle quantità in questione.  D'altra parte, se i risultati ottenibili con i metodi a) e b) sono formalmente accettabili e se semplificano lo studio degli allievi meno volenterosi, nella realtà non sono accettabili per una serie di ragioni:

– il ragionamento (problem solving), nel caso in cui le operazioni di moltiplicazione e divisione fossero più di una, è notevolmente rallentato;

le materie, come la fisica e la chimica vengono trasformate in una accozzaglia di formule.  Aumenta il numero di informazio ni isolate (non connesse) e la probabilità di errore, cioè diminuisce l'informazione reale;

le formule acquistano un alone di mistero e ci si dimentica, invece di rafforzarla, la loro origine, o il concetto che esprimono;

anche per quanto riguarda le proporzioni, gli allievi si affidano a queste ciecamente, come se fossero un meccanismo sconosciuto, ma infallibile, rischiando di cadere ugualmente in errore.  In chimica, infatti, si verificano spesso uguaglianze fra quantità, che non sono esprimibili come proporzioni (uguaglianze fra rapporti), poiché le quantità derivano dal prodotto di una concentrazione per un volume, e quindi il metodo del "... se tanto mi da tanto..." non funziona (si pensi ad esempio al V·N = V'·N' nel punto di equivalenza).  Nell'impostare la proporzione l'allievo cura le relazioni "spaziali" sulla carta fra le quantità in gioco, e perde di vista il vero significato delle quantità e delle operazioni fatte.  La stessa critica può essere rivolta anche al metodo FL e forse a buona parte delle presunte abilità di astrazione che l'insegnamento della matematica dovrebbe fornire.

 

La costanza dei rapporti è, in senso "non matematico", un concetto viscerale, e vitale: quando viene turbato lo stato d'equilibrio di un individuo esso reagisce con un'azione opposta "proporzionale"; la matematica dovrebbe insegnare che molti problemi sono del tipo proporzioni, ma molti altri sono del tipo "costanza delle quantità", e si affrontano impostando un'uguaglianza fra quantità.  I problemi di questo secondo tipo sono altrettanto comuni dei primi nella scienza e nella vita di tutti i giorni, ma sono considerati più difficili dagli allievi.  Quindi l'educazione matematica va rafforzata sul fronte più debole.  È evidente comunque che l'insegnamento della chimica è un'ottima palestra per formare tali abilità, in quanto l'allievo ha continuamente a che fare sia con rapporti che con prodotti: "quantità di sostanza = concentrazione x quantità di miscela".  A patto però che si adotti il metodo che Cardulla ha definito "logical thinking" [1], che, come già precisato, consiste nell'acquisire una profonda familiarità con le quantità tipiche della chimica, al punto che il rapporto "moli/volume" acquisti per l'allievo lo stesso significato concreto che può avere il "numero di studenti per aula".  Solo a quel punto gli allievi potranno risolvere i problemi senza scorciatoie, o algoritmi, scegliendo di volta in volta se è necessario moltiplicare o dividere e, in quest'ultimo caso, quale deve stare "sopra" e quale "sotto".

 

Il rovescio della medaglia è che il mancato possesso di tale familiarità al livello intuitivo con i concetti base è spesso uno dei motivi per i quali gli studenti pongono la chimica nelle prime posizioni della classifica delle "materie difficili".  Il questionario che conclude questa nota è stato da me ideato per tentare una verifica oggettiva delle tesi in essa contenute.  È in mio proposito di utilizzarlo durante l'anno scolastico, e sarebbe estremamente interessante se anche altri insegnanti che hanno allievi al primo approccio con la chimica lo sperimentassero nelle loro classi, in modo da poter fare un'analisi, e trarre delle conclusioni su un insieme più ampio di realtà scolastiche.  Il questionario con domande a scelta multipla va proposto naturalmente dopo aver affrontato argomenti come la mole, le soluzioni, e la misura delle concentrazioni nella chimica.  Gli insegnanti interessati all'esperimento potranno riempire lo schema seguente ed allegarne una copia ai questionali svolti, che spedirà all'autore (una matrice di risposte può sostituire vantaggiosamente l'invio di molti questionari).  Dato lo scopo che il questionario si prefigge, l'uso della calcolatrice tascabile durante la prova ne limiterebbe la significatività; inoltre, poiché ciò che contano sono i dati statistici, si potrà rassicurare gli allievi garantendo l'anonimato alle loro prove.

 

SCHEMA DA ALLEGARE ALLE RISPOSTE DEL QUESTIONARIO

Metodo d'insegnamento adottato per i problemi sulle moli e sulle concentrazioni:

metodo del Factor-Label                               □

metodo delle proporzioni                               □

metodo con formule                                       □

metodo del "logical thinking"                           □

gli allievi hanno svolto esperienze di laboratorio in cui era necessario dosare volumi precisi di soluzioni? [SI] [NO]

 

QUESTIONARIO

1) Una soluzione 0,7 M ha una concentrazione di:

A            0,7 grammi/litro

B            0,7 grammi/cm3

C            0,7 moli/litro

D            0,7 moli/cm3

 

2) Quanto vale la concentrazione molare se in 2 litri sono contenute 6 moli di soluto?

A            0,33

B            3

C            6

D            12

 

3) Quante moli di soluto sono contenute in 2 litri di soluzione 0,2 M?

A            0,4

B            0,1

C            10

D            4

 

4) Qual è il volume di soluzione 2 M che contiene 4 moli di soluto?

A            0,5 litri

B            2 litri

C            4 litri

D            8 litri

 

5) Quale tra le seguenti soluzioni contiene la maggior quantità di sostanza dissolta?

A            2 litri di soluzione 1 M

B            6 litri di soluzione 2 M

C            5 litri di soluzione 3 M

D            1 litro di soluzione 4 M

 

6) Quale tra le seguenti soluzioni è la più concentrata?

A            2 moli di soluto in 4 litri di soluzione

B            1 mole di soluto in 3 litri di soluzione

C            2 moli di soluto in 2 litri di soluzione

D            2 moli di soluto in 3 litri di soluzione

 

7) È necessario calcolare la quantità di KI (peso molecolare = 166) occorrente per fare 3 litri di soluzione 2 M.  Individua l'unica sequenza logica di operazioni:

A            prima divido e pòi moltiplico

B            è sufficiente una divisione

C            effettuo due moltiplicazioni successive

D            effettuo due divisioni successive

 

8) Calcola i grammi di KCl (peso molecolare = 75) necessari per avere 100 cm3 di soluzione 0,1 M.

A            7500g

B            0,75 g

C            7,5 g

D            75

 

9) Quanto vale la concentrazione molare se 0,4 litri di soluzione contengono 0,2 moli di soluto?

A            0,08

B            0,02

C            0,5

D            2

 

10) 250 cm3 di soluzione 4 M contengono:

A            1000 moli

B            16 moli

C            0,0625 moli

D            1,0 moli

 

11 ) In quale volume di soluzione 2 M sono contenute 0,2 moli?

A            0,1 litri

B            10 litri

C            0,4 litri

D            2 litri

 

12) Le seguenti soluzioni contengono tutte la stessa quantità di soluto, tranne una.  Individuala.

A            0,3 litri di soluzione 6 M

B            0,6 litri di soluzione 3 M

C            6,0 litri di soluzione 0,3 M

D            0,03 litri di soluzione 0,6 M

 

13) Le seguenti soluzioni hanno tutte la stessa concentrazione tranne una: quale?

A            0,4 litri contengono 0,8 moli

B            0,8 litri contengono 0,4 moli

C            0,0.4 litri contengono 0,08 moli

D            2,0 litri contengono 4,0 moli

 

14) Si deve calcolare la quantità di NaCl (peso molecolare = 58,4) necessaria per l'ottenimento di 0,37 litri di soluzione 2 M del sale. Qual è la sequenza logica di operazioni?

A            È sufficiente una divisione

B            Effettuo due moltiplicazioni successive

C            Effettuo due divisioni successive

D            Prima divido e poi moltiplico

 

15) Sei in laboratorio, ed è necessario preparare 100 cm3 di soluzione 0,1M di KCl.  Il peso molecolare del sale è 75: quanti grammi di sale devi pesare?

A            75 g

B            7500 g

C            0,75 g

D            7,5 g

 

16)

 

 

= 1 litro

 

 

 

 

= 1 mole

 

Facendo riferimento alle figure, stabilisci in quale caso si otterrà la soluzione più concentrata.

 

Bibliografia

1. F. Cardulla, J. Chem. Educ., 64, 519 (1987).

2. S. Nurrenbern, M. Pickering, J. Chem. Educ., 64, 508 (1987).

3. F. Cardulla, J. Chem. Educ., 61, 151 (1984).

4. R.P. Feynman, Sta scherzando, Mr. Feynman!, Zanichelli Ed., 1988, p. 209.

 

Apparso originariamente su La Chimica nella Scuola, 1989, 3, 19-21. Riprodotto con l'autorizzazione del Prof. Pierluigi Riani, direttore di CnS.