Dalle leggi di Keplero alla gravitazione di Newton

 

Paolo Farinella

 

Ho letto su Naturalmente di ottobre 1993 l’interessante articolo di Maurizio Artoni sulle leggi di Keplero.  Artoni giustamente sottolinea la rivoluzionaria portata conoscitiva del lavoro di Keplero, ricostruendo per sommi capi il complesso percorso concettuale che portò a quelle che normalmente sono presentate nei libri di testo –e da non pochi insegnanti come giaculatorie da imparare a memoria, infarcite di astruse nozioni geometrico-matematiche (ellissi, fuochi, raggi vettori, cubi e quadrati, semiassi maggiori ...).  Vorrei qui allargare un po’ il discorso di Artoni, mostrando che le leggi di Keplero possono anche essere viste come un caso esemplare, in senso epistemologico: in altre parole, come un esempio concreto del modo in cui avanza la conoscenza scientifica, al di là dei preconcetti o dei modelli mentali su quello che il metodo scientifico dovrebbe essere.  Come vedremo, questo tema può avere delle sottili ripercussioni anche sulla didattica della scienza.  Tutti sanno che il XVII secolo vide una grande rivoluzione culturale nella storia del mondo occidentale: i nomi di Copernico, Keplero, Galileo e Newton, insieme alle nuove concezioni sulla struttura del sistema solare alle leggi del movimento, segnarono l’avvento prima nell’astronomia e nella fisica e poi in altre discipline, di quell’insieme di nuovi metodi, concetti, teorie e tecniche sperimentali che da allora sono alla base delle moderne scienze della natura.

 

Questa rivoluzione viene spesso presentata in due modi, apparentemente contrastanti fra loro: secondo una prima ricostruzione (che si potrebbe chiamare di tipo induttivo), fu la paziente accolta e l’esame dei dati d’osservazione che condusse Keplero a formulare le sue leggi di tipo empirico sulle orbite dei pianeti, e fu la generalizzazione di queste leggi che portò Newton alla sua teoria universale della gravitazione; la seconda ricostruzione privilegia invece, nella storia della scienza, il ruolo dell’intuizione creatrice e della successiva deduzione logico-matematica di previsioni da confrontare con i dati. Questa seconda concezione è ben esemplificata dall’epitaffio che il poeta Alexander Pope compose alla morte di Newton, nel 1727: “La natura e le leggi della natura erano nascoste nella notte. Dio disse: sia Newton! E tutto fu luce”. Come spesso accade, la storia reale assomiglia piuttosto a un compromesso, o a un miscuglio, fra le due ricostruzioni astratte sopra delineate. Da una parte Keplero, profondamente convinto anche per motivi di tipo filosofico-religioso della validità della teoria eliocentrica di Copernico, lavorò per molti anni analizzando i dati d’osservazione –le posizioni dei pianeti, in particolar modo di Marte, registrate da Tycho Brahe e poi da lui stesso con una precisione fino ad allora mai raggiunta– per riformulare la teoria copernicana in modo da renderla al tempo stesso più semplice da un punto di vista geometrico e meglio in accordo con il movimento reale dei pianeti sulla sfera celeste.  Le sue tre leggi, che costituivano una mirabile sintesi di migliaia di osservazioni empiriche, eliminavano dalla teoria eliocentrica proposta da Copernico tutti i residui tolemaici (in particolare gli epicicli), generati dal preconcetto platonico che i movimenti celesti non potessero che derivare da combinazioni di moti circolari, rendendola nello stesso tempo assai più feconda di previsioni estremamente accurate.

 

Sessant’anni più tardi, Newton si pose il problema di un’ulteriore sintesi, che usasse come ingresso le leggi di Keplero per ricavare la relazione fra la forza succitata dal Sole e la distanza istantanea fra esso e i pianeti: questo tentativo ebbe un immenso successo soprattutto perché la nuova legge di gravitazione mostrò subito di poter essere applicata a spiegare anche moltissimi altri fenomeni, dalla caduta dei corpi pesanti vicino alla superficie terrestre alle orbite apparentemente anomale delle comete.  D’altra parte, Keplero stesso non si era limitato a sintetizzare le osservazioni in alcune semplici leggi o regole matematiche. Già nella sua opera giovanile (il Mysterium Cosmographicum del 1596) Keplero aveva discusso le implicazioni della relazione fra la distanza di un pianeta dal Sole e la velocità del suo moto.  Si trattava di un problema che nessuno aveva sollevato prima di lui, perché implicava una relazione di causa ed effetto fra la presenza del Sole ed i moti planetari, un’idea totalmente estranea alla cosmologia medievale. Il fatto che le velocità dei pianeti calino con la distanza dal Sole, notava Keplero, porta alle due seguenti spiegazioni: “..o le anime che muovono i pianeti sono tanto meno attive quanto più il pianeta è lontano dal Sole, oppure non esiste che una sola anima motrice al centro di tutte le orbite, ossia il Sole, che sposta ogni pianeta tanto più vigorosamente quanto più è vicino; mentre, al contrario, la sua forza è quasi esaurita allorché si esercita sui pianeti esterni, a causa della grande distanza e della dispersione d’energia che ciò provoca”.  Venticinque anni dopo, commentando questo passo, Keplero annotava: “Se sostituiamo alla parola anima la parola forza noi ritroviamo il principio che sottintende la mia fisica dei cieli nell’Astronomia Nova... da principio credevo seriamente che la forza motrice di un pianeta fosse un’anima... Tuttavia, notando che questa causa di moto diminuiva in ragione della distanza, come fa anche la luce del Sole, ne ho concluso che questa forza doveva essere qualcosa di sostanziale, nello stesso senso in cui lo è la luce: cioè che si tratta di un’entità immateriale emanante da un corpo materiale”.

 

Come vediamo, siamo arrivati ad un passo dalla concezione newtoniana della forza gravitazionale.  Dobbiamo dunque considerare la teoria di Newton essenzialmente come una riformulazione, basata su un nuovo e raffinato formalismo matematico, delle leggi di Keplero?  Se da un certo punto di vista le cose stanno così, da un altro questa conclusione porta a non cogliere uno dei tratti essenziali della relazione tra due teorie scientifiche successive: la teoria della gravitazione infatti non solo spiega in termini di legge di forza, ma anche corregge le leggi di Keplero.  È infatti facile dimostrare, a partire dalle leggi della dinamica newtoniana, che le leggi di Keplero valgono soltanto in modo approssimato, cioè quando si considerano i corpi celesti come di forma sferica e si trascura la forza esercitata su ogni pianeta dagli altri rispetto a quella, assai più intensa, del Sole: ma quest’ultima approssimazione sorge da una circostanza fortunata, ossia il fatto che le masse dei pianeti siano inferiori a quella del centro di attrazione solare di oltre un fattore 1000.  È una circostanza che non si presenta, ad esempio, nei sistemi di stelle multiple o per le orbite delle stelle intorno al centro della Galassia.  Anche nel caso dell’orbita della Luna intorno alla Terra, le ipotesi semplificative sopra citate portano ad errori significativi: l’orbita lunare non è affatto un’ellissi fissa nello spazio, ma cambia continuamente di forma e di dimensioni.  La dinamica newtoniana, a differenza delle leggi di Keplero, permette quindi di analizzare una grande varietà di problemi complessi, ed ha quindi generato una nuova branca della fisica e dell’astronomia: la meccanica celeste.

 

Ho accennato alle implicazioni di questa vicenda per la didattica della scienza. Molto spesso nella scuola si contrappongono la concezione deduttiva e quella induttiva dell’apprendimento delle scienze naturali.  La prima è in genere preferita dagli insegnanti tradizionali, con una formazione universitaria di matematica o di fisica teorica, che amano molto le dimostrazioni alla lavagna e poco il laboratorio, il lavoro di gruppo, le osservazioni dirette sul campo. La seconda, in genere preferita da biologi, fisici sperimentali, chimici e astronomi, enfatizza invece la raccolta di prima mano di dati, seguita da un faticoso lavoro di analisi-discussione-astrazione-induzione che porti a (ri) trovare la legge.  Anche se, dovendo scegliere, la mia simpatia personale andrebbe piuttosto a quest’ultima impostazione, vorrei sconsigliarne un’interpretazione estremistica: la bellezza della scienza, e l’attrattiva che può suscitare sugli studenti, è anche dovuta alla potenza sintetizzatrice delle sue astrazioni, alla possibilità di usare le leggi naturali come magici cappelli da cui estrarre colombi, conigli e ogni sorta di altri animali empirici e concettuali. Keplero e Newton dovrebbero andare a braccetto, e non litigare!

 

 

Pubblicato originariamente su Naturalmente, 1994, 7 (1), 19-20.