ESPERIMENTI PER GIOCO

 

V. Z.

 

Mille modi (o quasi) per eccitare la risonanza di due sistemi oscillanti

 

Se si appendono due righe da disegno al bordo di un tavolo come mostra la figura 1, fissando su ognuna di esse un dado da bullone, poi le si collega mediante un sottile filo da cucire che sorregge un fermaglio da carta fissato alla metà del filo, si hanno a disposizione due pendoli composti accoppiati che permettono lo studio sia sperimentale sia teorico delle condizioni di risonanza del sistema nel suo complesso.  In questa breve nota ci si interesserà solo dell’aspetto sperimentale, rinviando a un’altra occasione l’aspetto teorico.

 

(A) L’esperimento preliminare consiste nel mostrare che le due righe, scariche oppure cariche con due masse uguali poste alla stessa distanza dall’asse di sospensione O, hanno uguale periodo: ce ne potremo accorgere facilmente, perché se le lasciamo libere contemporaneamente, continuano a oscillare all’unisono per molto tempo, finché un po’ alla volta si sfasano perché i due sistemi non possono mai essere identici.  Tuttavia, se accoppiati mostrano un notevole grado di risonanza, potendo scambiarsi facilmente energia.

 

(B) Si può dimostrare (sperimentalmente e teoricamente) che esiste un punto N della riga avente questa importante proprietà: se in esso viene fissata una qualsiasi massa, il periodo di oscillazione del sistema risulta uguale a quello della riga scarica. (Per inciso, la distanza del punto N da O viene chiamata lunghezza equivalente del pendolo semplice, proprio perché una qualsiasi massa posta in N oscilla come se fosse appesa a un filo di lunghezza pari alla distanza di O da N, e può essere interessante farlo verificare sperimentalmente).  In questo contesto si può determinare il punto N per tentativi, consistenti nel trovare dove si deve fissare un qualsiasi dado da bullone su una riga affinché oscilli assieme all’altra, scarica.  Nel nostro caso abbiamo trovato che il punto N è a distanza dN = (37,6 ± 0,3) cm dall’asse O.  Dopo aver determinato N, possiamo dimostrare facilmente che se si accoppia la riga scarica con l’altra riga caricata in N, anche in questo caso esse si scambieranno energia facilmente, proprio perché possono entrare in risonanza.

Sul prossimo numero vedremo un’altra maniera per eccitare la risonanza dei due pendoli.  Nel frattempo, volete provare a individuarla da voi stessi?

 

 

FIGURA 1.  Schema dell’apparato sperimentale da noi usato.  Le righe da disegno hanno lunghezza nominale 60 cm e massa 103 g.  Ognuna di esse è appesa a uno spillo sporgente dal bordo del tavolo, a sua volta fissato sul ripiano del tavolo mediante nastro adesivo.  Affinché la riga resti aderente al bordo del tavolo, che possibilmente deve essere arrotondato, è opportuno che un ago venga infilato perpendicolarmente sotto lo spillo, onde dare a quest’ultimo una pendenza verso l’interno del tavolo.  Tutto questo affinché il piano di oscillazione sia ben determinato. I dadi da bullone vanno fissati sulla riga mediante nastro biadesivo.  Il filo è tagliato a metà lunghezza e i due estremi sono annodati ad anello, in maniera che il fermaglio possa servire a congiungerli, quando si vuole che i due pendoli oscillino accoppiati, mentre lo si deve togliere per disaccoppiarli.

 

(C) Passiamo ora all’ultima maniera per eccitare la risonanza del nostro sistema.  Prima dobbiamo determinare preliminarmente come cambia il periodo della riga al variare della distanza del dado dall’asse O.  La figura 2 mostra alcuni risultati di queste misure sistematiche: da essa si può ricavare una conclusione forse imprevista, vale a dire che un certo valore del periodo può essere realizzato posizionando la massa in due punti diversi, poiché l’andamento della curva interpolante ha un minimo (più o meno accentuato a seconda del rapporto massa del dado-massa della riga).  Conoscendo l’andamento della curva teorica che esprime il periodo in funzione della posizione, per una certa massa, si potrebbero interpolare molto bene i dati sperimentali, per poi ricavare facilmente a quali coppie di distanze una certa massa appesa alla riga farebbe oscillare il sistema con lo stesso periodo.  Volendo però seguire una strada più semplice, ci si può basare su una curva interpolante tracciata a mano o meglio servendosi di una cubica, come in figura 2, per trovare, pressappoco, le varie “posizioni gemelle”.  Ad esempio, posizionando a 27,2 cm da O una massa di 88,38 g (realizzata in realtà con un dado da 43,98 g e uno da 44,40 g posto dall’altro lato della riga, affinché il sistema oscilli in maniera più regolare) il periodo risulta uguale a quello che si ottiene posizionando la stessa massa a 6,0 cm, periodo che in entrambi i casi vale (1,148±0,003) s, mentre se ci servissimo della curva di figura 2 per le stesse due distanze i periodi non risulterebbero uguali. A questo punto si possono accoppiare le righe come in figura 1 per mostrare che anche con questa disposizione delle masse esiste una condizione di risonanza.  Altri particolari interessanti possono essere messi in risalto, ad esempio relativamente al fatto che la riga a cui è fissato il dado a distanza minore da O non può far fermare completamente l’altra riga, poiché a parità di ampiezza iniziale essa è in grado di immagazzinare meno energia potenziale dell’altra.

 

Concludendo, abbiamo trovato ben tre modi per mettere in risonanza i due pendoli (o meglio, cinque modi, poiché gli altri due si ottengono scambiando le posizioni dei dadi sui due pendoli).  Ve lo sareste aspettato?  Ed è proprio perché le condizioni di risonanza sono così numerose che i progettisti di apparati mobili devono prestare estrema attenzione ad eliminare ogni possibilità che esse si verifichino, poiché potrebbero portare a danni irreparabili.

 

 

FIGURA 2.  Periodo della riga al variare della distanza da O, per un dado da bullone avente massa 88,38 g.  L’incertezza sui periodi, misurati manualmente per angoli molto piccoli (< 7°), è di circa lo 0,2%.  L’andamento è stato approssimato con una cubica, per semplicità, però specialmente nella zona di sinistra, caratterizzata da pochi punti sperimentali, questa approssimazione non risulta soddisfacente.

 

 

Pubblicato originariamente su La Fisica nella Scuola, 2003, 36, p. 32; p. 72. Riprodotto col permesso del direttore Rita Serafini.