LA COMPLICAZIONE DELLA DIVERSITÀ

Note d'uso assolutamente parziali

 

Stefano Paoli

 

L’acquisizione della complessità

non è semplificabile

Morin [1]

 

Buttate via le vostre vecchie

equazioni e cercate un’indicazione

nei ricorrenti disegni delle nubi.

Cvitanovic

 

Il poeta è un fingitore

finge così completamente

che arriva a fingere che è dolore

il dolore che davvero sente

F. Pessoa

 

Per questo genere di storie non c’è mai un vero inizio.  Noi possiamo cominciare con Poincaré e il suo studio sui tre corpi (1889), che apre una breccia nella descrizione lineare e deterministica della meccanica newtoniana individuando la nascita del caos in un semplice sistema meccanico.  Io sono entrato in argomento leggendo “L’uomo antibiologico” di A. Sacchetti, ecologo estremista e un poco catastrofista, che cita “La nuova alleanza”  [2] circa una ventina di volte come testo liturgico.  Oltre l’ironia, il fatto è indicativo dell’importanza epistemologica e metodologica che il “nuovo paradigma” assume per le Scienze naturali.  Per l’ecologia esso rappresenta addirittura una rifondazione.  Dunque, il libro [2] è in realtà una raccolta di lavori di Prigogine e collaboratori con frequenti ripetizioni di spiegazioni ed esempi.  La difficoltà di lettura è diseguale; alcuni saggi sono più divulgativi e lineari, altri presentano un consistente apparato matematico che, detto fra noi, per me ha due vantaggi: uno – ti fa pensare che finalmente stai leggendo un libro serio, due – fischiettando salti le dimostrazioni e arrivi prima in fondo.  Se però è la prima volta che capita di leggere cosa può uscir fuori dalla non linearità e dalle fluttuazioni dei sistemi aperti, lontani dall’equilibrio termodinamico, davvero si apre una finestra in testa.

 

Prigogine del resto non lascia la tua fantasia a lavorar da sola.  Ma, in due parole, qual è la novità effettivamente straordinaria della questione?  Quando un sistema sta entrando nell’equilibrio termodinamico tutte le fluttuazioni rispetto al massimo d’entropia si smorzano e il sistema si stabilizza nel suo stato fondamentale, relativamente semplice, destrutturato, privo d’informazioni spaziali e temporali; si potrebbe dire estraneo, morto rispetto al tempo.  Se però osserviamo un sistema lontano dall’equilibrio e mantenuto in questa condizione da flussi di materia e d’energia costanti, la situazione può evolvere in modo completamente diverso: dal disordine, con una brusca transizione di fase, il sistema si auto-organizza su larga scala, riducendo nettamente l’entropia interna.  Compaiono periodicità spaziali e temporali.  Queste ultime costituiscono “orologi interni” del sistema che rompe l’invarianza rispetto al tempo e mantiene, entro certi limiti, costante il proprio “ritmo interno” rispetto alle perturbazioni; possiede cioè un certo grado d’omeostasi.  Esistendo molti stati ordinati possibili che il sistema può frequentare (sono le diverse “strutture dissipative” accessibili), esso sceglie una volta per tutte in modo non deterministico; quindi esercita una sorta di “libero arbitrio”, costruisce una “storia”.  Possiede diversi gradi di libertà che gli permettono, sotto opportuni stimoli, di modificarsi e di evolvere.

 

Come ho anticipato, queste strutture dinamiche organizzate su vasta scala sono denominate da Prigogine “strutture dissipative”, dato il loro bisogno di consumare energia per mantenere l’ordine (cioè esportare entropia).  Celle convettive, reazioni chimiche oscillanti, reazioni metaboliche, meccanismi di morfogenesi, origine della vita, meccanismi evolutivi, esseri viventi, ecosistemi, città, dinamiche economiche, dinamiche sociali, rivoluzioni, funzionamento del sistema associativo: tutto ciò ha a che vedere con le strutture dissipative.  Persino la questione della misura in meccanica quantistica assumerebbe una nuova dimensione con la termodinamica lontana dall’equilibrio.  Preme soprattutto all’autore mettere in evidenza la rifondazione del tempo come evento reale in contrapposizione al tempo evanescente, non reale della fisica dei fenomeni invarianti rispetto a questa grandezza.  Per questo il titolo del libro è “La nuova alleanza” e per questo il filosofo più citato da Prigogine è Bergson: il “nuovo paradigma” ha riscoperto il tempo dell’evoluzione, dell’ontogenesi, della storia, della letteratura, del progresso culturale.  A chi interessasse quest’aspetto volendo sbrigarsi consiglio [3].  Il volumetto contiene, oltre ai testi di due conferenze di Prigogine (sul tempo), un’intervista allo scienziato e il suo saggio sull’energia tratto dall’enciclopedia Einaudi.

 

Gli stessi concetti compaiono in “Sinergetica” [4].  Il libro è assai più semplice, forse più accattivante perché è pensato unitariamente (mentre l’altro [2] è una raccolta di saggi disomogenei), spazia su tutti i campi citati in precedenza.  C’è però una cosa strana:  questo campo di studi viene qui chiamato sinergetica, la terminologia è completamente diversa, l’impostazione (che è coerente nella gamma dei fenomeni analizzati) è originale.  Si cade davvero dalle nuvole leggendo come si possa parlare esattamente delle stesse cose ignorandosi reciprocamente (intendo gli autori e le loro teorie).  Poi, in uno degli ultimi capitoli,  H. Haken, autore del libro [4], parla della dinamica della conoscenza scientifica come meccanismo sinergetico; dove cioè, in una lotta fra fluttuazioni diverse, emerge un principio ordinatore che assoggetta il sistema in un nuovo ordine (ho usato la terminologia della sinergetica; in termini di strutture dissipative si direbbe che fra i diversi stati possibili, mediante un’amplificazione di fluttuazioni il sistema si autorganizza coerentemente su vasto raggio). A questo punto H. menziona criticandole sia la teoria delle catastrofi di R. Thom [5] che le strutture dissipative di Prigogine.

 

E, fra le righe, emerge una preoccupazione: che, nel processo sinergetico della formazione di un nuovo paradigma, il principio ordinatore (l’attrattore della dinamica del sistema) potrebbe non essere la sinergetica, ma un altro possibile stato (strutture dissipative, teoria della catastrofi, caos deterministico, automi cellulari, complessità algoritmica, numeri magici di Feigenbaum, geometria frattale, attrattori strani o altra roba ancora).  Noi ci scherziamo, ma nonostante che H. parli di vasti riconoscimenti in Germania, non ho mai letto di sinergetica da altre fonti.  Penso comunque che per gli insegnanti di storia sarebbe utile conoscere il testo (niente a che vedere con lo storicismo).  Qual è il significato di tutte quelle espressioni che compaiono nella penultima parentesi?  Se siete interessati,  una risposta complessiva,chiara, ma non semplicistica, si può trovare su [6] nel III, IV,V e VI capitolo.  Un ulteriore aspetto positivo è che dalla lettura si possono comprendere le correlazioni tra tutte queste nuove conoscenze; si intravede anche la loro collocazione come perle intorno al nucleo centrale nel programma di ricerca della complessità.  Da questo testo ho tratto la citazione di Cvitanovic.  Consideriamo una certa classe di sistemi dinamici descritti da un’equazione non lineare (ovviamente lontano dalle condizioni di equilibrio le equazioni non sono lineari).

 

Anche nel caso semplice e determinato in cui l’equazione presenti una sola soluzione, dopo un certo numero di trasformazioni subentra l’instabilità, il sistema diviene caotico.  Questa evoluzione caratterizza appunto i sistemi instabili che si dicono “sensibili alle condizioni iniziali”.  Pur essendo l’evoluzione del sistema deterministica in linea di principio, l’amplificazione di perturbazioni minime presenti (e che non possono essere individuate nelle condizioni iniziali dato che la conoscenza dei parametri per quanto grande avrà una precisione finita) porta a condizioni molto diverse tra loro pur partendo da valori dei parametri iniziali indistinguibili.  Cioè il sistema è completamente determinato e contemporaneamente inconoscibile.  (Potremmo conoscerne l’evoluzione incrementando esponenzialmente il tempo di calcolo per ogni incremento lineare di tempo di previsione; ciò significa che il modo più veloce di calcolare è quello messo in atto dal sistema stesso che, mentre si evolve, calcola la sua evoluzione).  È il caos deterministico.  Si può sperimentare con un semplice calcolatore tascabile [7] (dopo S.J.Gould, D. Hofstadter è il divulgatore più elegante ed efficace che conosca).  In meteorologia si chiama effetto farfalla.  Le equazioni che descrivono i moti atmosferici (naturalmente non lineari quindi con soluzioni caotiche in funzione dei parametri inseriti) costituiscono il lavoro, fondamentale in meteorologia, di E. Lorenz (1963).  Uno dei primi che ha dovuto aprire le porte al caos.

 

Consideriamo la dinamica di un sistema al variare di alcuni parametri che possono comparire nell’equazione, vedi ad esempio l’equazione logistica che in ecologia rappresenta la crescita di una popolazione, ci troviamo di fronte ad una straordinaria varietà di comportamenti che vanno dalla dinamica caotica a quella periodica o semiperiodica.  L’aspetto ancora più straordinario è che la transizione verso il caos di questi sistemi manifesta certe caratteristiche universali.  Graficamente il processo è rappresentabile con cascate di biforcazioni che si infittiscono in prossimità del punto critico che segna l’inizio del caos.  I rapporti fra le distanze di biforcazioni successive sono espressi da certi numeri, chiamati numeri di Feigenbaum (4,669201... e 2,5029...), che ritroviamo nell’analisi del comportamento caotico di sistemi affatto diversi.  C’è qualcosa sotto?  P. Davies pensa di sì.  ”La natura gioca a dadi, ma questi dadi sono truccati e a noi spetta il difficile compito di scoprirne le proprietà”.  La frase è di Giulio Casati curatore di [8].  Il volume è una raccolta di saggi comparsi su “Le Scienze”, fra cui quello già indicato di Hofstadter.  Manca però il saggio [9] pubblicato in ottobre, “Anticaos e evoluzione biologica”.

 

Come anticaos?  Nessun timore, la terminologia varia, ma i concetti sono sempre quelli.  Per determinati sistemi complessi governati da processi di autocatalisi, retroazioni positive, scambi di informazioni secondo determinati percorsi e regole, le equazioni rappresentanti la dinamica del sistema sono non-lineari e, al convergere dei parametri di regolazione su determinati valori, avviene la transizione da caos a ordine su larga scala.  In particolare in questo interessantissimo saggio si ipotizza il funzionamento del genoma come un elaboratore complesso a funzionamento parallelo (ogni gene è regolato da alcuni altri che generalmente funzionano da attivatori o inibitori o con altra semplice logica d’interazione).  Il tutto è matematizzabile in forma di reti booleane stocastiche. In breve, per determinati numeri di ingressi in ogni elemento e determinate regole di connessione, non solo il sistema si auto-organizza ma permane in una zona di confine fra ordine e caos.  In questa situazione il sistema presenta una grandissima flessibilità riassumibile in questi termini: capacità di assorbire senza danni numerose piccole modificazioni casuali e capacità di transitare velocemente verso un nuovo ordine sotto l’influenza di alcune grosse fluttuazioni dei microstati degli elementi.

 

È possibile verificare al calcolatore come l’azione congiunta di questa flessibilità creativa del sistema e della selezione dovuta a competizione con altri sistemi produca una convergenza su schemi di organizzazione globale più favorevoli, indipendentemente dalla situazione di partenza.  Un vero e proprio processo di adattamento.  Nel saggio ci sono alcune considerazioni quantitative che legano i possibili stati delle funzione booleane che simulano il genoma ai possibili tipi cellulari di vari tipi di animali.  Ci sarebbe molto altro da dire.  Vale la pena leggerselo.  Le funzioni booleane stocastiche mi pare che siano generalizzazioni dei famosi automi cellulari descritti da von Neumann [10] già nel 1966.  Non ho letto il testo, ma propongo un semplice esempio tratto da [6].  A una linea monodimesionale di celle assegnamo

 

casualmente un valore di una certa variabile (nel caso più semplice pieno-vuoto).

 

 

Dopo di che stabiliamo una regola di trasformazione simultanea delle celle verso stadi successivi.  Ad esempio: la cella assumerà il valore vuoto se le celle confinanti sono entrambe vuote o piene, assumerà il valore pieno se le celle confinanti hanno valori diversi (una piena e una vuota).  Ora facciamo partire, in modo automatico il sistema con successive trasformazioni simultanee. Le regole di trasformazioni sono regole locali, dipendono cioè solo dallo stato delle celle limitrofe alla cella data.

 

Ebbene alcuni automi, dopo un certo numero di trasformazioni, generano schemi complessi organizzati su larga scala con correlazioni a vasto raggio, manifestando la tendenza a “cadere” in cicli iterativi di schemi ordinati che vengono chiamati “attrattori”.  Come potete ben rilevare, c’è un’estrema somiglianza con la formazione e la dinamica delle strutture dissipative.  Gli stati ordinati possibili che il sistema lontano dall’equilibrio può assumere attraverso le fluttuazioni caotiche sono i possibili attrattori. I tipi cellulari diversi che il genoma può produrre, secondo la teoria delle reti booleane, sono gli attrattori di quei sistemi.  Nel diagramma delle fasi [11] gli attrattori possono essere rappresentati da punti o linee.  Ma alcuni attrattori sono geometricamente strani: sono frattali [12] o [8].  I frattali sono figure spigolose che hanno dimensioni non intere (fra punti e linee 0-1; fra linee e piani 1-2 ecc.) e possiedono la proprietà dell’invarianza di scala.  Per inciso, anche i numeri di Fiegenbaum, esprimendo dei rapporti tra distanze che si succedono, rendono lo schema invariante rispetto alla scala.  Interessanti le storie [6] della curva di Koch (che è chiusa ma infinita, non possiede tangenti ed è autosimile), e dell’insieme di Cantor (con dimensione inferiore all’unità ma non zero, simile a una sezione degli anelli di Saturno); frattali con molti anni di anticipo!

 

Ma quale interesse possiamo avere in costruzioni tanto artificiose?  Basta leggere [13] o [8] per rendersi conto che il nostro corpo conosce ed usa la geometria frattale (ma non la geometria euclidea) molto prima di Mandelbrot!  Vorrei concludere con questo libro (10), che rappresenta una “summa teorica” dei problemi e delle prospettive della complessità.  Non manca niente di quanto ho frettolosamente accennato e vi è molto ancora.  Ad esempio l’approccio della scienza della complessità alla cosmologia.  La sola lettura dell’indice rende bene l’idea di come ormai sia vasto il “territorio” interessato dal nuovo paradigma. Il testo è il massimo del rigore e della sistematicità con un approccio che alterna regolarmente l’analisi teorica del modello matematico e le applicazioni ai fenomeni più disparati.  Non può essere letto; va studiato.  L’estesa e complessa (complicata?) matematizzazione presenta, almeno per me, rilevanti difficoltà.  Hamiltoniane che riempiono tutta una riga hanno il potere di riesumare uno stato d’animo tale a quello che ti prendeva, da ragazzo, quando, dopo aver fantasticato su tutto per l’intero pomeriggio, a sera ti accorgevi di non aver vissuto niente; il mondo nel frattempo girava da un’altra parte.

 

Bibliografia

1. Citazione tratta dalla relazione introduttiva dell’ispettrice proff.ssa A. M. Gisberti al corso d’aggiornamento "L’impianto epistemologico delle discipline scientifiche."

La breve bibliografia che segue è quanto mai parziale ed arbitraria. Esistono molte altre opere fondamentali sul tema. Un modo possibile per ampliarla è consultare la bibliografia dei testi consigliati. Poi concentriamo la nostra attenzione solo sui titoli che ricorrono più frequentemente. Avremo così i testi veramente fondamentali.  Lo scopo di questo scritto è però quello di fare un breve e libera chiacchierata fra colleghi su cose lette in ogni caso con interesse, per cercare di comprendere.

2. I. Prigogine, La nuova alleanza, Longanesi 1979.

3. I. Prigogine, La nascita del tempo, Bompiani 1988.

4. H. Haken, Sinergetica, Boringhieri, 1981.

5. P. Rossi (a cura), Storia della Scienza, vol. II Tomo II, pagg.1124-1128, UTET.

6. P. Davies, Il cosmo intelligente, Mondadori 1988.

7. D. Hofstadter, Strani attrattori - Schemi matematici fra l’ordine e il caos, Le Scienze, n. 28, 1982.

8. G. Casati (a cura di), Il caos, Le Scienze editore.

9. S. Kaufman, Anticaos ed evoluzione biologica, Le Scienze n. 278, 1991.

10. J. Von Neumann, La logica degli automi e la loro riproduzione; in La filosofia degli automi,V. Somenzi e R. Cordeschi (a cura di), Boringhieri.

11. G. Nicolis, I. Prigogine, La complessità, Einaudi 1987.

12. H. Jurgens, H. O. Petigen, D. Saupe, Il linguaggio dei frattali, Le Scienze n. 266, 1990.

13. A. L. Goldberger, D. R. Rigney, B. J. West, Caos e frattali in fisiologia umana, Le Scienze n. 260, 1990.

 

 

Pubblicato originariamente su Naturalmente, 1993, 6 (1), 18-20.